STORIA DELLO STATO: PROBLEMATIZZAZIONE POLITICO-MATEMATICA SUI SISTEMI ELETTORALI -Continuazione 15-

Lo Stato moderno è una “invenzione” che risale a circa 300 anni mentre la riflessione scientifica sui sistemi elettorali democratici inizia dal Settecento ma si sviluppa nel corso del XX secolo. 

Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet,(1743-1794) studioso dei possibili sistemi elettorali di uno Stato liberale, sviluppa il metodo elettivo di Condorcet : un metodo di votazione a vincitore unico, attraverso il quale i votanti assegnano ai candidati una precisa posizione, in ordine di preferenza (1°, 2°, 3°, ...). Il metodo di votazione deve soddisfare il criterio di Condorcet ossia il vincitore sconfiggerebbe sempre ciascun altro candidato in un confronto a due (vincitore di Condorcet o Condorcet Winner ).In base all'ordine di preferenza si può stabilire il preferito e quindi il vincitore per ogni coppia di candidati (sono ammessi ordinamenti paritari, in caso di candidati fra cui si è indifferenti); l'ordinamento indica dunque anche il numero di vittorie nei confronti e il primo della lista è il vincitore di tutti i confronti e quindi il vincitore per il singolo votante. Ripetendo l'operazione per tutti i votanti e aggregando gli esiti si ottiene il vincitore dell'elezione. Il metodo di Condorcet può far vincere un candidato che non è la prima scelta di nessun votante: seleziona quindi il miglior candidato di compromesso, il meno sgradito a tutti. Vi sono circostanze in cui una elezione non ha un vincitore di Condorcet ed è lo stesso Condorcet a mostrare come la votazione a maggioranza, usata nella democrazia rappresentativa, può condurre a delle scelte ambigue. Questo limite della votazione a maggioranza viene definito: Paradosso di Condorcet ed esattamente Il Paradosso di Condorcet descrive il caso di un "pareggio multiplo" (ciclo della regola di maggioranza) e occorre risolvere questa ambiguità circolare. Nel Paradosso le preferenze collettive possono essere cicliche (cioè non transitive) anche se le preferenze dei votanti non lo sono individualmente. Questo è un paradosso perché significa che i desideri della maggioranza possono essere in conflitto gli uni con gli altri. Questo succede quando le maggioranze in conflitto sono ognuna composte di gruppi di individui differenti.

Jean Charles de Borda, contemporaneo di Condorcet, riflette sugli studi di Condorcet e sviluppa un metodo elettivo alternativo al metodo studiato da Condorcet che si proponeva di risolvere il paradosso maggioritario, che Borda considerava equo ma difficile da metter in pratica. Borda propone un'altra procedura, detta Conteggio di Borda che consisteva nell'attribuire dei punti e fare la somma, la quale non ha questo difetto, un sistema di voto ponderato i cui primi impieghi sono molto antichi, poiché fu utilizzato dal Senato romano fino all'anno 105 e formalizzato da de Borda nel 1770.  Una polemica molto accesa oppose questi due studiosi, ciascuno dei quali difendeva il proprio metodo come il più equo.

Conteggio di Borda: si sceglie un numero n (n. di volte)inferiore o uguale al numero dei candidati. Ogni elettore costruisce allora una lista di n candidati in ordine di preferenza. Al primo della lista si attribuiscono n punti, al secondo n - 1 punti, e così di seguito, fino all'n-esimo della lista che si vedrà attribuire 1 punto. Il risultato di un candidato è la somma di tutti i punti che gli sono stati attribuiti. Il candidato, o i candidati, i cui punteggi sono i più elevati vincono le elezioni.

Nel caso in cui n = 1, si ritrova il sistema di scrutinio maggioritario a un turno.

Nel caso in cui n è molto grande e ciascuno può fermare la sua lista dove vuole, si ritrova il sistema di voto per approvazione. In effetti, per n  grande, i candidati che sono votati ricevono quasi lo stesso numero di punti, mentre i candidati non classificati si vedono attribuire zero punti. Esempio: se, in una elezione dove n = 10, l'elettore compila un elenco di solo tre candidati, essi si vedranno attribuire rispettivamente i voti di 10, 9 e 8 (o, in modo proporzionale, i voti di 1, 0,9 e 0,8), ossia tre voti vicini al valore massimo, mentre gli altri candidati otterranno un voto pari a 0.

Quando il sistema di voto obbliga a classificare tutti i candidati, si può diminuire di 1 il numero dei punti attribuiti a ciascuno: il primo della lista ottiene n - 1 punti, il secondo n - 2 punti e così via, fino all'ultimo che riceve 0 punti. Così il punteggio di ogni candidato è un numero compreso tra 0 e (n - 1)v, dove v è il numero di suffragi espressi.

Jean Antoine Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet, condivideva la critica al criterio di maggioranza semplice, ma non la proposta di Borda per risolverne i limiti. Divenuto segretario dell’Accademia francese illustrò, nel 1784, una sua proposta, in un verbale in cui veniva riportata anche la proposta di Borda.

Condorcet proponeva di mettere a confronto i candidati due alla volta, sulla base delle preferenze espresse dai votanti, ciascuno dei quali elenca in ordine i candidati. Chi vinceva i confronti diretti veniva dichiarato vincitore. Molto spesso i due metodi portano allo stesso risultato, ma Condorcet illustrò anche casi in cui i due metodi divergono. Tuttavia il fatto più importante, visto in retrospettiva, fu la scoperta che lo stesso Condorcet fece, e cioè che il suo metodo poteva non portare ad un CW (Condorcet Winner).

Il Teorema dell'impossibilità di Arrow, o semplicemente teorema di Arrow, è un teorema formulato nel 1951 dal Premio Nobel per l' economia Kenneth Arrow nel libro Social Choice and Individual Values. Arrow sostiene, partendo da alcuni requisiti fondamentali della Democrazia e da alcune leggi matematiche, considerati come dati:

• Universalità (o dominio non ristretto): la funzione di scelta sociale dovrebbe creare un ordinamento delle preferenze sociali deterministico e completo, a partire da qualsiasi insieme iniziale di preferenze individuali
• Non imposizione (o sovranità del cittadino): qualsiasi possibile preferenza sociale deve essere raggiungibile a partire da un appropriato insieme di preferenze individuali (ogni risultato deve poter essere raggiunto in qualche maniera)
• Non dittatorialità: la funzione di scelta sociale non deve semplicemente seguire l'ordinamento delle preferenze di un individuo o un sottoinsieme di individui, al contempo ignorando le preferenze degli altri
• Monotonicità, o associazione positiva tra i valori individuali e sociali: se un individuo modifica il proprio ordinamento di preferenze promuovendo una data opzione, la funzione di scelta sociale deve promuovere tale opzione o restare invariata, ma non può assegnare a tale opzione una preferenza minore (nessun individuo dovrebbe essere in grado di esprimersi contro un'opzione assegnandole una preferenza maggiore)
• Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se si confina l'attenzione ad un sottoinsieme di opzioni, e la funzione di scelta sociale è applicata ad esse soltanto, il risultato deve essere compatibile con il caso in cui la funzione di scelta sociale è applicata all'intero set di alternative possibili

che non sia possibile determinare un sistema di votazione che preservi le scelte sociali. Lo scopo dello studio era quello di trovare una qualsiasi procedura di decisione elettorale collettiva che potesse soddisfare alcuni requisiti ragionevoli per una scelta non arbitraria ma il più condivisibile possibile. Un esempio di una procedura che non può soddisfare tutti i requisiti considerati da Arrow è il sistema di voto maggioritario come mostrato dal Paradosso di Condorcet. La procedura proposta da Jean Charles de Borda, che consiste nell'attribuire dei punti e fare la somma, che in teoria non avrebbe alcun difetto, nella realtà, il teorema di Arrow ci dice che ci deve essere un requisito che non è soddisfatto: l'indipendenza dalle alternative irrilevanti. La dimostrazione del teorema comporta, sorprendentemente, l'impossibilità di soddisfare simultaneamente tutti i requisiti considerati da Arrow per cui si può concludere dicendo che non è ancora stato trovato un sistema elettivo che rappresenti veramente le scelte degli elettori.

Teorema dell' impossibilità di Arrow

Si ipotizzi che una società necessiti di adottare un ordine di preferenza tra diverse opzioni. Ciascun individuo della società ha un proprio ordine di preferenza, che può esprimere per esempio tramite un voto. Il problema è quello di trovare una procedura (per esempio un sistema di voto), più in generale chiamato una funzione di scelta pubblica, che trasformi l'insieme delle preferenze individuali in un ordinamento globale coerente.

Il teorema di Arrow afferma che se il gruppo di cittadini votanti comprende almeno due individui e l'insieme delle alternative possibili almeno tre opzioni, non è possibile costruire una funzione di scelta sociale che soddisfi al contempo tutti i requisiti sopra enunciati.

Secondo una versione alternativa del teorema di Arrow, il requisito di monotonicità è rimpiazzato da:

• unanimità (o criterio paretiano, o efficienza paretiana): se ogni singolo individuo preferisce una certa opzione A all'opzione B, allora A deve essere preferita a B anche da parte della funzione di scelta sociale.

Tale formulazione è più restrittiva, in quanto ipotizzare sia la monotonicità che l'indipendenza dalle alternative irrilevanti implica l'efficienza paretiana. Va tuttavia detto che la teoria paretiana dell'efficienza nel liberismo è stata criticata e resa limitata dal premio Nobel per l'Economia Amartya Sen.

La teoria dei giochi

Tutte queste riflessioni diventate teorie ufficiali sono state strutturate e supportate scientificamente con il metodo matematico e con lo stesso metodo sono state criticate, sviluppate, arricchite o limitate. In base a calcoli e formule matematiche gli insiemi elettivi decisivi che rispettano la chiusura rispetto all'intersezione, elementi presenti nelle formule e nei grafici, formano un ultrafiltro, e dato che l'insieme dei votanti è, per fortuna, finito, anche un filtro principale. Esiste, dunque, un singolo votante, che Arrow chiama il dittatore, che da solo determina il risultato della votazione: egli è l'intersezione di tutti gli insiemi decisivi. Quindi, con le ipotesi fatte da Arrow, delle due l'una: o accettiamo il paradosso di Condorcet, e quindi l'esito delle votazioni dipende dall'ordine in cui vengono effettuate, oppure in un sistema che esclude questa possibilità, ogni insieme decisivo comprende un dittatore, ossia un votante che da solo determina il risultato della votazione. Entrambe le possibilità sono in contrasto con l'idea istintiva di democrazia rappresentativa, che è quindi matematicamente impossibile. Contrariamente a quanto possa sembrare, sono possibili alternative che consentano ad una Costituzione di attuare una democrazia rappresentativa senza il paradosso di Condorcet, però queste forme devono necessariamente rinunciare ad una o più delle ipotesi isolate matematicamente con la teoria dei giochi. Data la semplicità delle ipotesi di partenza, e la complessità della spiegazione del perché sono inaccettabili, è arduo ipotizzare che sia possibile far varare una legge elettorale conforme alle soluzioni prospettate.

Interpretazioni

Il teorema di Arrow è un risultato matematico, ma è spesso espresso in termini non matematici, con affermazioni distraenti: nessun sistema di voto è equo, qualunque sistema di voto può essere manipolato,il solo sistema di voto non manipolabile è la dittatura, con questo sistema elettorale non si va da nessuna parte. Queste affermazioni rappresentano semplificazioni del risultato di Arrow che non si possono considerare universalmente vere e comunque resta la considerazione finale che, se il politico fosse onesto ed esercitasse il suo mandato in modo equo ed etico, i sistemi elettorali passerebbero in secondo piano, invece attualmente, la discussione intorno ai sistemi elettorali sposta l' attenzione dalla disonestà e dalla corruzione della classe dirigente alla limitatezza della legge elettorale che come abbiamo visto non sarà mai risolutiva del Principio rappresentativo.

Arrow usa il termine fair (equo) con riferimento ai suoi criteri. In effetti alcuni di essi, quali l'ottimo paretiano o la richiesta di assenza di imposizioni, possono apparire banali. Non così, ad esempio, per il criterio dell'indipendenza dalle alternative irrilevanti. Si consideri il seguente esempio: Dave, Chris, Bill e Agnes concorrono per uno stesso posto di lavoro; si supponga che Agnes abbia un chiaro vantaggio rispetto agli altri concorrenti. Ora, in base al risultato di Arrow, si potrebbe avere una situazione in cui, se Dave si ritira, Bill, e non Agnes, ottiene il posto. Ciò potrebbe apparire non equo a molti; tuttavia il teorema di Arrow implica che situazioni di questo tipo non possono, in generale, essere evitate.

Diversi teorici, e non, hanno proposto di rilassare, ossia rendere meno restrittivo, il criterio dell'indipendenza dalle alternative irrilevanti al fine di risolvere il paradosso. I fautori di sistemi di voto basati su ordinamenti delle alternative affermano che il criterio sarebbe restrittivo senza ragione, e che non troverebbe applicazione nella maggioranza delle situazioni concrete. In effetti, tale criterio è escluso da diversi meccanismi di voto di comune impiego, così come in generalizzazioni quali il Metodo di Borda.

Il Teorema di Gibbard-satterthwaite è un tentativo di rilassare le condizioni che portano al risultato di Arrow, sostituisce al criterio dell'indipendenza dalle alternative irrilevanti un criterio di non-manipolabilità. Il teorema, tuttavia, giunge alle stesse conclusioni (paradossali) di Arrow, dimostrando così l'equivalenza tra il criterio dell'indipendenza dalle alternative irrilevanti e la non-manipolabilità.

In conclusione, il teorema di Arrow mostra che il voto è un gioco non banale, e che la teoria dei giochi potrebbe essere impiegata per predire l'esito della maggior parte dei meccanismi di voto. Ciò potrebbe essere interpretato come un risultato scoraggiante, dal momento che un gioco non ha necessariamente un equilibrio efficiente (o desiderabile dal punto di vista sociale). L'alternativa sarebbe di traslare i risultati ottenuti da Sen nel campo dell'economia, al campo della politica elettorale, che però richiedono di rilassare una delle condizioni viste all'inizio.

Conseguenze

Nel 1970, applicando lo stesso principio di Arrow, il premio Nobel per l' economia, Amartya Sen ha mostrato l'impossibilità matematica del liberismo paretiano. Tramite una generalizzazione del metodo ad insiemi di vettori ad n dimensioni, l'economista Herbert Scarf ha mostrato, nel 1962, l'inesistenza della mano invisibile per mercati con più di due beni i cui prezzi siano interdipendenti. Il risultato di Arrow rappresenta uno dei primi approcci alle scienze sociali tramite il formalismo matematico; tramite questo e altri lavori Kenneth Arrow ha contribuito significativamente all'evoluzione dell' economia politica nel corso del XX secolo nella direzione di un maggior rigore matematico. L' attualità politica odierna ci conferma tragicamente la teoria di Arrow e l' unica variabile per contrastare il Principio dell' impossibilità a trovare un sistema elettorale efiiciente e giusto sarebbe semplicemente l' onestà politica che non rientra, oggi, nella teoria dei giochi se non come variabile irrilevante. 

A rappresentare questo post la dimostrazione del paradosso i Condorcet